W latach 60. i 70. pracował w kilku rzeszowskich zakładach. W roku 1974 został zwolniony z pracy w Zakładzie Przemysłu Terenowego za zorganizowanie 2,5-godzinnego strajku. W grudniu 1981 roku internowany w Ośrodku Odosobnienia w Załężu. Po wyjściu do 1989 roku był wielokrotnie zatrzymywany. Z materiałów IPN-u wynika, że donosiło na niego 44 tajnych agentów, a rozpracowywało go 22 funkcjonariuszy SB.
Przez lata zasiadał w Prezydium i Zarządzie Regionu NSZZ "Solidarność". Był także radnym Rzeszowa z ramienia AWS. Przez 10 ostatnich lat był prezesem Stowarzyszenia Osób Represjonowanych w Stanie Wojennym Województwa Podkarpackiego. Za swoja działalność został wielokrotnie odznaczony medalami: Krzyżem Więźnia Politycznego (1998), Orderem Męczeństwa i Zwycięstwa 1939-1989 (1998), Krzyżem Semper Fidelis (1999), Złotym Krzyżem Zasługi (2001), statuetką Pomnika Poległych Stoczniowców (Krzyży Gdańskich) z okazji 25-lecia "S" w Regionie Rzeszowskim (2005), medalem i odznaką Zasłużony dla NSZZ "Solidarność" (2007), Krzyżem Kawalerskim Orderu Odrodzenia Polski (2010).
Józef Konkel zostanie pochowany na cmentarzu Pobitno w Rzeszowie. Uroczystości pogrzebowe odbędą się w sobotę 12 sierpnia o godzinie 10.30.
